Tóm tắt kiến thức và bt chương 6, 7

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
CHƯƠNG 6: ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
CHƯƠNG 7: ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Giả sử biến ngẫu nhiên
biết tham số

(của tổng thể) có quy luật phân phối xác suất đã biết, nhưng chưa

nào đó của nó.

có thể là: giá trị trung bình, tỉ lệ các đơn vị, phương sai hoặc độ lệch chuẩn của tổng thể,…
Vấn đề đặt ra là: Cần ước lượng (một cách gần đúng) các tham số/đặc trưng này của tổng thể
(chưa biết) từ các đặc trưng của mẫu như thế nào?
Có 2 phương pháp ước lượng:
i) Ước lượng điểm: chỉ ra

=

nào đó để ước lượng .

ii) Ước lượng khoảng: chỉ ra một khoảng ( ,
(





)=1−

) chứa

cho trước (1 −

sao cho

gọi là độ tin cậy của ước lượng).

Các ký hiệu
ĐẶC TRƯNG

MẪU

TỔNG THỂ

Tỉ lệ

f

p

Phương sai

s2

Độ lệch chuẩn

s

Trung bình

6.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT VỀ ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Định nghĩa 6.1.1. Một ước lượng điểm của một tham số là một số cụ thể mà biểu thị giá trị hợp
lý cho . Giá trị ước lượng điểm này được tính toán từ một mẫu thống kê hợp lý.
Định nghĩa 6.1.2. Một ước lượng ˆ được gọi là ước lượng không chệch của nếu ( ˆ ) = , với
mọi giá trị của . Nếu ˆ không phải là ước lượng không chệch thì hiệu của ( ˆ ) − gọi là mức
chệch của ˆ
Mệnh đề 6.1.3.
1. Cho ∼ B( , ). Khi đó, tỷ lệ mẫu ˆ = / là một ước lượng không chệch của .
2. Cho , … ,
là một mẫu ngẫu nhiên được lấy từ một phân phối có trung bình và phương
sai . Khi đó, tham số ‾ là một ước lượng không chệch của và
∑ ( − ‾)
ˆ =
=
−1
là một ước lượng không chệch của

.

1

7.1. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Giả sử tổng thể có tham số chưa biết. Ta tìm khoảng ( ,
1 − cho trước.
Khi đó:
 Khoảng ( , ) được gọi là khoảng tin cậy.


−

được gọi là độ tin cậy của ước lượng.

 |

−

| được gọi là độ dài khoảng tin cậy.

 Nếu

là một ước lượng không chệch của

) chứa

sao cho (



thì khoảng ước lượng của

(

− ,

+ ).

 Số



được gọi là độ chính xác (hay sai số, bán kính) của ước lượng.



)=

có dạng:

7.1.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Bài toán 1: Tìm khoảng ước lượng trung bình
Bài toán. Giả sử tổng thể có giá trị trung bình là ( ) =
tin cậy 1 −

chưa biết. Ta cần ước lượng

với độ

cho trước.

Ta cũng giả thiết rằng ta đã có một mẫu gồm

phần tử được chọn từ tổng thể đó và đã tính

được trung bình mẫu ‾, độ lệch chuẩn mẫu . Khi đó tuỳ từng trường hợp cụ thể, ta có phương
pháp tìm khoảng ước lượng như sau.
a) Trường hợp 1: σ đã biết
50
i) Khoảng tin cậy của

với độ tin cậy 1 − α là ( ‾ − ‾ + ) (còn gọi là khoảng tin cậy đối

xứng, khoảng tin cậy 2
...

...
………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 28. Do đường kính (đơn vị: mm ) của một loại chi tiết máy do xí nghiệp
thu được bảng số liệu sau:
X

87

89

91

93

95

97

99

Số chi tiết

37

45

69

83

71

45

32

sản xuất ta

a. Với độ tin cậy 98%, hãy tìm giá trị trung bình tối đa và tối thiểu cho đường kính của chi tiết
máy.
b. Với độ tin cậy 94%, hãy tìm tỷ lệ tối đa và tối thiểu của tỷ lệ chi tiết tiết máy có đường kính
trên 98 mm .
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

22

……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 29. Giả sử mức độ phóng điện áp từ các mạch điện có phân phối xấp xỉ chuẩn. Đo 17 mẫu
ngẫu nhiên về khả năng phóng xa của điện áp là:
1470| 1510| 1690| 1740| 1900| 2000| 2030| 2100| 2190| 2200| 2290| 2380| 2390| 2480| 2500|
2580| 2700|.
Hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai và độ lệch chuẩn với độ tin cậy 95%.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

23