Tóm tắt kiến thức và bt chương 4

XÁC SUẤT - THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG 4
BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục và Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa 4.1.1. Một biến ngẫu nhiên
(1) Các giá trị có thể có của

gọi là liên tục nếu thỏa mãn:

nằm trong một khoảng số thực hoặc là hợp của các khoảng

rời nhau
(2) ( = ) = 0 với bất kì số là một giá trị của .
Định nghĩa 4.1.2. Hàm ( ) được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN liên tục
i) ( ) ≥ 0, ∀

ii) ∫

( )

=1

iii) ( ≤

≤ )=∫

Ví dụ 1. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
0, 1
( )=
a) Xác định .

.

, ≥1

(−1 ≤

b) Tìm

≤ 2).

Giải:
a) Theo tính chất hàm mật độ xác suất: ∫
⇔ ∫

0

b) (−1 ≤

+∫

=1 ⇔

≤ 2) = ∫ 0

Chú ý. Nếu BNN

( )

=1

nếu
nếu

∉ [ ],
∈ [ ],

=1

+∫

=

có hàm mật độ xác suất
( )=

0
( )

thì

( )=

⎧0
⎪
⎨
⎪
⎩1

( )

1

nếu

,

nê̂u

≤

nếu

.

≤ ,

( )

nếu:
.

Ví dụ 2. Khoảng thời gian X (tính bằng phút) mà một người nói chuyện qua điện thoại
đường dài là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất:
0

( )=

≤0
0

,

a) Tìm .
b) Tính xác suất một người sẽ nói chuyện từ 8 đến 12 phút.
Giải.
a) Vì ( ) là hàm mật độ xác suất nên:
1=

( )

,

=

.

= lim (10 − 10
→

) = 10 ⇒

= 0,1.

. ×

. ×

b) Xác suất một người sẽ nói chuyện từ 8 đến 12 phút là:
(8 ≤

≤ 12) =

( )

=

0,1

,

=

−

= 0,148.
4.2. Hàm phân phối xác suất và các số đặc trưng
Định nghĩa 4.2.1. Hàm phân phối ( ) của biến ngẫu nhiên liên tục

được xác định

bởi:
( )= ( ≤ )=

( )

, ∀ ∈ℝ

Với mọi số thực , ta có ( ) = 1 − ( ), và cho hai số
( ≤
Chú ý: ( ) =
Ví dụ 3. Cho

và

≤ )= ( )− ( )

( )
là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là
1 3
+
( )= 8 8
0

0≤

≤2

nếu khác

Tìm hàm phân phối của .
Giải: Xét giá trị

bất kì trong đoạn [0,2], ta có
( )=

( )

1 3
+
8 8

=
2

=

8

+

3
16

với

, ta có

Khi đó,
0

0

3
( )=
+
8 16
1

0≤

≤2

2

Chẳng hạn, ta tính
(1 ≤

≤ 1.5) = (1.5) − (1) =

1
3
1.5 + 1.5
8
16

−

1
3
1+ 1
8
16

=

19
64

và
( 1) = 1 − ( ≤ 1) = 1 − (1) = 1 −

1
3
1+ 1
8
16

=

11
16

Ví dụ 4. Một cửa hàng tạp hóa lớn có không gian kệ cho 150 thùng nước trái cây được giao
vào một ngày cụ thể mỗi tuần. Doanh số hàng tuần đối với nước trái cây cho thấy nhu cầu
tăng đều đặn lên đến 100 thùng và sau đó chững lại trong khoảng từ 100 đến 150 thùng. Gọi
X là nhu cầu hàng tuần tính theo đơn vị trăm thùng. X có hàm mật độ xác suất:
( )= 1
0

0≤ ≤1
1 ≤ 1,5
0 hay 1,5

a) Tìm hàm phân phối xác suất ( ),
b) Tính (0 ≤

≤ 0,6),

c) Tính P(0,9 ≤ X ≤ 1,2).
Giải
a) Từ định
...

...
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

Bài 19. Thời gian sử dụng thư viện trong 1 ngày của các sinh viên ngành Khoa học dữ liệu
tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là 96 phút và độ lệch chuẩn là 17 phút.
a) Xác suất để một sinh viên sử dụng thư viện ít nhất 120 phút trong 1 ngày là bao nhiêu?
b) Xác suất để một sinh viên sử dụng thư viện tối đa 80 phút trong 1 ngày là bao nhiêu?
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….

Bài 20. Gọi X (tính bằng tháng) là thời gian từ lúc vay đến lúc trả hết khoản vay của một
khách hàng tại một ngân hàng. Biết X ~ N(24, 25).
a) Tính tỉ lệ khách hàng trả hết khoản vay cho ngân hàng trong khoảng thời gian từ 18 đến
30 tháng.
22

b) Thời gian T0 là bao nhiêu để có 99% khách hàng trả hết khoản vay cho ngân hàng trong
khoảng thời gian không vượt quá T0?
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….

Bài 21. Chiều cao (cm) của người dân Việt Nam là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
N (160 64) .

a) Tính tỉ lệ người dân Việt Nam cao trên 165 cm.
b) Đội tuyển điền kinh Việt Nam dự SEAGAME gồm 5 vận động viên, tính xác suất có 2
vận động viên cao trên 165 cm.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….…
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

23