XÁC SUẤT – THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG 10: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH
Cho
và
là hai biến ngẫu nhiên nhận các giá trị tương ứng
,…,
và
,…,
…
…
Ta tìm mối quan hệ của
và
bằng cách thuyết lập mô hình hồi quy tuyến tính.
=
+
= ‾− ‾
à
=
), … , (
) được cho bởi
Hồi quy tuyến tính là phương trình hồi quy:
∑
− ∑
Hệ số tương quan của
cặp ( ,
=
,
, trong đó
∑ ( − ‾ )( − ‾ )
=
∑ ( − ‾)
=
Tính chất.
i.
∈ [−1 1]
ii. Nếu
= 0 thì hai biến ngẫu nhiên không có tương quan.
iii. Mức phụ thuộc tuyến tính của hai biến cho trong bảng sau
Yếu
| | ≤ 0.5
Vừa
−0.8
−0.5,0.5
Sử dụng máy tính để tìm phương trình hồi quy
fx-570
1. (chọn tần số) Shift → Mode →⇓ 4 → 1.on
2. Mode → 3: STAT → 2.
Nhập dữ liệu sau đó nhấn
.
3. Shift → 1 → 5. Reg → 1. A
Shift → 1 → 5. Reg → 2. B
Shift → 1 → 5. Reg → 3. r: correlation
fx-580
1. MODE → 6 → 2
Nhập dữ liệu sau đó nhấn
.
2. OPTN → 3 (tìm được 3 giá trị r, a, b)
Chú ý. Phương trình hồi quy dạng = + .
Mạnh
0.8
| | ≥ 0.8
Ví dụ 1. Giả sử ta có bảng số liệu sau:
132.0
129.0
120.0
113.2
105.0
92.0
84.0
46.0
48.0
51.0
52.1
54.0
52.0
59.0
Khi đó, ta tìm được:
= −0,849121565
= −0.206574222 và
= 74,60519103
Từ đó, ta có phương trình hồi quy là
= 74,6052 − 0.2066.
Hệ số tương quan là:
= −0.8491, do | | ≥ 0.8 nên tương quan mạnh.
Ví dụ 2. Đo chiều cao
của 10 người con trai được chọn ngẫu nhiên so với chiều cao
của cha
chúng. Dữ liệu kết quả (tính bằng cm) như sau.
152,4
157,5
162,6
165,1
167,6
170,2
172,7
177,8
182,9
188
161,5
165,6
167,6
166,4
169,9
170,4
171,2
173,5
178,1
177,8
Có thể sử dụng dữ liệu này để dự đoán chiều cao của con trai qua chiều cao của cha bằng hàm hồi
quy tuyến tính thực nghiệm hay không? Nếu được, hãy dự đoán chiều cao của con trai của người
cha cao 185 cm.
Giải. Từ dữ liệu, sử dụng máy tính, ta tính được giá trị của hệ số tương quan tuyến tính mẫu
=
0,9814490635 a = 90,81155279
= 0,4677536964
Vì vậy, có thể sử dụng dữ liệu này để dự đoán chiều cao của con trai qua chiều cao của cha bằng
hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm
y = 90,81155279 + 0,4677536964.
Dự đoán chiều cao của con trai của người cha cao 185 cm là
y(185) = 90,81155279 + 0,4677536964 × 185 = 177,3 cm.
Ví dụ 3. Khảo sát về lượng cầu một loại sản phẩm (nghìn cái) theo giá của sản phẩm đó, ta được
kết quả như sau:
Cầu sản phẩm(y)
252
244
241
234
230
223
Giá (USD/cái)(x)
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
a. Hãy xác định hệ số tương quan tuyến tính mẫu của cầu sản phẩm và giá của sản phẩm này. Từ đó
tính hệ số xác định và cho biết ý nghĩa của nó.
b. Xác định phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của cầu sản phẩm theo giá của sản phẩm này. Nêu
ý nghĩa của hệ số góc.
c. Dự báo cầu sản phẩm này nếu giá của sản phẩm này là 2,5 USD/cái
Giải.
= −0,9948 a = 306,619 b = −27,7143
a) Hệ số tương quan tuyến tính:
Hệ số xác định:
=
= −0,9948
= 0,9896 = 98,96%
Ý nghĩa: Giá bán của sản phẩm này giải thích được 98,96% sự thay đổi giá trị của cầu sản phẩm
theo mô hình hồi quy tuyến tính mẫu, còn lại 1,04% do các yếu tố khác ngoài mô hình tác động.
b) Phương trình hồi quy tuyến tính:
= 306,619 − 27,7143. x
Ý nghĩa hệ số b = −27,7143: Khi giá bán một đơn vị sản phẩm này tăng lên 1 USD, thì cầu trung
bình của sản phẩm này giảm đi 27,7143 (nghìn cái).
c) Dự báo khi giá một đơn vị sản phẩm này là 2,5 USD thì cầu sản phẩm này là
(2,5) = 306,619 − 27,7143.2,5 = 237,333 (nghìn cái)
