10/1/2022

1.1

Chương 1

1.2
1.3
1.4
1.5

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Một phương trình tuyến tính với các ẩn

1.1
Hệ phương trình
tuyến tính

x1 ,, xn

là một phương trình có dạng

a1 x1  a2 x2    an xn  b
trong đó n là một số nguyên dương, b và các hệ số

a1 ,, an

là các số thực hay phức.

10/1/2022

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Một hệ phương trình tuyến tính (hay một hệ tuyến tính) là một
họ của một hay nhiều phương trình tuyến tính theo cùng các ẩn,
chẳng hạn x1, …, xn.
Một nghiệm của hệ là một bộ (s1, …, sn) các giá trị làm cho mỗi

Cách tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính?

phương trình trở thành một đẳng thức đúng khi thay tương ứng

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính như thế nào?

s1, …, sn cho x1, …, xn.
Tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là tập nghiệm của hệ tuyến
tính.
Hai hệ tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm.

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình
 x  2x  1
2
(a)  1

x

3
x
 3
2
 1
 x  2x  1
1
2
3
2
 1

b x  2x 

 x  2x  1
1
2

c x  2x 


1

2

1

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Một hệ phương trình tuyến tính có
1. vô nghiệm, hoặc
2. duy nhất một nghiệm, hoặc
3. vô số nghiệm.
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là
tương thích nếu nó có một nghiệm hoặc vô số
nghiệm.
Một hệ là không tương thích nếu nó vô
nghiệm.

10/1/2022

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình



x1  2x2  x3  0


 2x  4x  6x  4
 1
2
3


x

x
3

2
3



Ba phép biến đổi cơ bản thường dùng để đơn giản
một hệ tuyến tính:
• Thay một phương trình bởi tổng của nó và một
bội của phương trình khác,
• đổi chỗ hai phương trình,
• nhân một số khác không vào hai vế của một
phương trình.
Mục đích dùng phép biến đổi: Tạo ra hệ phương trình
mới đơn giản hơn hệ phương trình ban đầu và cùng tập
nghiệm với hệ ban đầu

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
 x  2x  x  0
 1
2
3
 2x  4x  6x  4
 1
2
3

x2  x3  3


Thay [pt2]  x 1  2x 2  x 3  0
bởi [pt2]- 
4x 3  4

2.[pt1]




Thay [pt2] 

bởi

(1/4).[pt2] 





Đổi chỗ


pt2 và pt3 






 1 2 1 0 


 2 4 6 4 
0
1 1 3



 1 2 1 0 


0 0 4 4 
x 2  x 3  3 0
1 1 3


x 1  2x 2  x 3  0  1 2 1 0 


x 3  1 0
0 1 1
x 2  x 3  3 0
1 1 3


x 1  2x 2  x 3  0  1 2 1 0

x 2  x 3  3 0
1 1 3

x 3  1 0
0 1 1




 x  2x
2
Thay [pt2]  1

x2
bởi


[pt2]-[pt3] 

Thay [pt1]  x 1
 
bởi

[pt1]+2[pt2]

 1  1

 2 0

x3  1
3

x2

2
x3  1

2 1 0 

1 0 2
0 0 1 1



 1 0 0 3


0 1 0 2 
0 0 1 1



KÝ HIỆU MA TRẬN
Một bảng hình chữ nhật gồm các số được xếp vào
m hàng và n cột được gọi là một m x n ma trận
hoặc một ma trận cấp m x n (mxn: cấp của ma
trận)

10/1/2022

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Các phép biến đổi sơ cấp hàng gồm:
1. (Phép thế) Thế một hàng bởi tổng của nó
với tích của một hằng số với một hàng khác.



x1  2x2  x3  0



 2x1  4x2  6x3  4


x2  x3  3




2. (Phép hoán vị) Hoán vị hai hàng.
3. (Nhân với vô hướng) Nhân tất cả các vị trí
của hàng với một hằng số khác 0.

1 2 1 


2 4 6 
0 1 1 



Ma trận hệ số

 1 2 1 0 


2 4 6 4 
0
1 1 3



Ma trận bổ sung

Hai ma trận được gọi là tương đương hàng
nếu có một dãy các phép biến đổi sơ cấp hàng
biến ma trận này thành ma trận kia.
Nếu các ma trận bổ sung của hai hệ tuyến tính
tương đương hàng, thì hai hệ có cùng tập
nghiệm.

1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

HAI CÂU HỎI CƠ BẢN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Liệu một hệ phương trình có tương thích; tức là
nó có tồn tại ít nhất một nghiệm không?
2. Nếu một nghiệm tồn tại, liệu nó có là duy nhất
không?

1.2
Phép biến đổi hàng
và dạng bậc thang

10/1/2022

1.2. PHÉP BIẾN ĐỔI HÀNG VÀ DẠNG BẬC THANG

1.2. PHÉP BIẾN ĐỔI HÀNG VÀ DẠNG BẬC THANG

DẠNG BẬC THANG
Một hàng hoặc cột khác không trong một ma
trận có nghĩa là một hàng hay một cột chứa ít
nhất một vị trí khác không
Hàng bằng không là hàng mà mọi vị trí đều
bằng 0.
Phần tử dẫn đầu của một hàng chỉ phần tử
khác không đầu tiên tính từ trái sang (trong
một hàng khác không).

Một ma trận được gọi là có dạng bậc thang
(hay dạng bậc thang theo hàng, REF) nếu nó
có ba tính chất sau:
1. Mọi hàng khác không nằm trên một hàng
bằng không bất kì.
2. Mỗi phần tử dẫn đầu của một hàng nằm bên
phải của phần tử dẫn đầu của hàng nằm
trên nó.
3. Mọi vị trí nằm trên một cột, dưới vị trí dẫn
đầu, đều bằng 0.

Ví dụ 3. Ma trận nào là ma trận bậc thang?
Những ma trận sau có dạng bậc thang

0 0 
A 

1 2 
0 3 2
B  1 2 1 


0 0 0

 2 0 1
C

 0 0 3
■ là các phần tử dẫn đầu, là các số khác 0
* là các phần tử có giá trị bất kỳ

1 0 1 
D

 2 1 1

10/1/2022

1.2. PHÉP BIẾN ĐỔI HÀNG VÀ DẠNG BẬC TH
...
--------------------------------------
...vectơ x
trong ℝ với một vectơ T (x) trong ℝ .
Với x trong ℝ , vectơ T(x)
trong ℝ được gọi là ảnh
của x (dưới tác động của T).
Tập hợp tất cả ảnh T (x)
được gọi là miền giá trị
của T.

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

PHÉP BIẾN ĐỔI MA TRẬN
Một phép biến đổi ma trận T là phép biến đổi

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

 2 1
3
1


 
 
 3
A  1 1 , u    , b  3 , c  1
2
 3 5
1
1
 


 
 

Ví dụ 13. Cho

dạng T(x) = Ax, với x thuộc Rn là A là một m x n
ma trận.
Miền giá trị của T là tập hợp tất cả các tổ hợp
tuyến tính của các cột của A.

Kí hiệu : ℝ → ℝ
ℝ : miền xác định của T
ℝ : đối miền của T.

và định nghĩa một phép biến đổi T: R 2 -> R3 bởi
T(x) = Ax.
a. Tìm ảnh của u qua phép biến đổi T

b. Tìm một x thuộc R2 mà ảnh của nó qua T là b.
c. Có nhiều hơn 1 vectơ x mà ảnh qua T là b không?
d. Vectơ c có thuộc miền giá trị của T không?

10/1/2022

a. Tìm ảnh của u qua phép biến đổi T

 2 1
3
1


 
 
3






A  1 1  , u    , b  3 , c  1
2


 
 
 
3 5
1
1


 
 
T(x) = Ax.

c. Có nhiều hơn 1 vectơ x mà ảnh qua T là b không?

b. Tìm một x thuộc R2 mà ảnh của nó qua T là b.

d. Vectơ c có thuộc miền giá trị của T không?

 2 1
3
1


 
 
3






A  1 1  , u    , b  3 , c  1
2


 
 
 
 3 5
 1 
1
T(x) = Ax.

 2 1
3
1


 
 
3






A  1 1  , u    , b  3 , c  1


 
 
2
3 5
1
1


 
 
T(x) = Ax.

10/1/2022

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 14. Nếu

1 0 0 


A  0 1 0


0 0 0

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 15. Cho

1 3 

A  

0
1



thì phép biến đổi ma trận x  Ax chiếu các điểm

Phép biến đổi ma trận T: R2 ->R2 được định nghĩa bởi

trong R3 lên x1x2- mặt phẳng, vì

T(x)=Ax được gọi là một phép biến dạng trượt.

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Phép biến đổi tuyến tính
Một phép biến đổi (hay ánh xạ) T là tuyến tính nếu:
i. T (u  v)  T (u)  T (v) , với mọi u, v trong
miền xác định của T;
ii. T (cu)  cT (u) với mọi vô hướng c và mọi
u trong miền xác định của T.
Nếu T là một phép biến đổi tuyến tính, thì T (0)  0
T là một phép biến đổi tuyến tính khi và chỉ khi
(*)
T (cu  dv)  cT (u)  dT (v)
với mọi vectơ u, v trong miền xác định của T và mọi vô
hướng c, d.
Áp dụng nhiều lần (*) cho ra công thức tổng quát:

T (c1v1  ...  c p v p )  c1T (v1 )  ...  c pT (v p )

1.8. GIỚI THIỆU VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 16. Cho trước vô hướng r, định nghĩa
T: R2 -> R2 bởi T(x) = rx.
T được gọi là một phép co khi 0  r  1
T được gọi là một phép giãn khi r  1
Cho r = 5, hãy chỉ ra T là một phép biến đổi tuyến tính

10/1/2022

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

ĐỊNH LÝ 10.

1.9
Ma trận của
phép biến đổi
tuyến tính

Cho T: Rn -> Rm là một phép biến đổi tuyến tính. Khi đó có duy nhất một
ma trận A sao cho
T(x) = Ax, với mọi x thuộc Rn.
Thật vậy, A là m x n ma trận ma cột thứ k của nó là vectơ T(ek) (với ek là
cột thứ k của ma trận đơn vị trong Rn).
A = [T(e1) T(e2) …………. T(en)]
A gọi là ma trận chuẩn (chính) tắc của T.
Ma trận đơn vị cấp n (ma trận đơn vị trong Rn), kí hiệu In,
là một nxn ma trận mà các phần tử ở hàng j cột j đều bằng
1, tất cả các phần tử còn lại đều bằng 0.

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 18. Cho T: R2 ->

Ví dụ 17.

R2 là phép biến đổi

Tìm ma trận chuẩn A của phép co T(x) = 0.5x, với x thuộc R2.

quay mỗi điểm trong R2
quanh gốc tọa độ một
góc φ, với hướng quay
ngược chiều kim đồng
hồ là góc dương. Khi đó
T là một phép biến đổi
tuyến tính. Hãy tìm ma
trận chuẩn A của phép
biến đổi này.

10/1/2022

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Các phép biến đổi tuyến tính hình học trên R2
• Bảng hình trang 65.

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Toàn ánh, đơn ánh.
Một ánh xạ T: Rn -> Rm được gọi là
1. toàn ánh lên Rm (ánh xạ lên Rm) nếu mọi b thuộc Rm là ảnh của ít
nhất một x thuộc Rn.
2. đơn ánh nếu mỗi b thuộc Rm là ảnh của nhiều nhất một x thuộc Rn.

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Nhận xét
T là toàn ánh lên ℝ khi miền giá trị của T chính là ℝ . Nghĩa là, T ánh
xạ ℝ lên ℝ nếu, với mỗi b nằm trong đối miền ℝ , phương trình T(x)=
b có nghiệm.

ĐỊNH LÝ 11.
Cho T: Rn -> Rm là một phép biến đổi tuyến tính. Khi
đó T là đơn ánh khi và chỉ khi phương trình T(x) = 0
chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường.
ĐỊNH LÝ 12.
Cho T: Rn -> Rm là một phép biến đổi tuyến tính có A
là ma trận chuẩn của nó. Khi đó
a. T ánh xạ Rn lên Rm khi và chỉ khi các cột của A
sinh ra Rm.
b. T đơn ánh khi và chỉ khi các cột của A độc lập
tuyến tính

10/1/2022

1.9. MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 19. Cho các phép biến đổi

1 2 1

A  

3
0
1


 2x 1  x 2 , x 1  x 2

T x   Ax,



F x1, x 2

 



a. T có là ánh xạ R3 lên R2 không? T có đơn ánh không?
b. F có là ánh xạ R2 lên R2 không? F có đơn ánh không?