sach-chinh-phuc-dai-so-tuyen-tinh-1755436472490

VŨ NGỌC ANH
PHẠM NGỌC LAM TRƯỜNG

ĐẠI SỐ
tỪ A

Z

PHẦN I: ĐẠI SỐ
MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - LOGIC - TẬP HỢP
Tóm tắt lý thuyết .......................................................................... 5
Bài tập ví dụ .................................................................................. 8
CHƯƠNG II: ÁNH XẠ - SỐ PHỨC
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 12
Bài tập ví dụ.................................................................................. 16
CHƯƠNG III: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC – HPT TT
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 22
Bài tập ví dụ ................................................................................. 28
CHƯƠNG IV: KHÔNG GIAN VECTOR
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 43
Bài tập ví dụ ................................................................................. 46
CHƯƠNG V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 51
Bài tập ví dụ ................................................................................. 56
CHƯƠNG VI: TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 62
Bài tập ví dụ ................................................................................. 64

CHƯƠNG VII: DẠNG TOÀN PHƯƠNG - KHÔNG GIAN
EUCLID - ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI
Tóm tắt lý thuyết ......................................................................... 69
Bài tập ví dụ ................................................................................. 74
ÔN TẬP GIỮA KỲ
Đề .................................................................................................. 87
Hướng dẫn giải ............................................................................ 100
ÔN TẬP CUỐI KỲ
Đề .................................................................................................. 126
Hướng dẫn giải ............................................................................ 131

CHƯƠNG 1

MỆNH ĐỀ - LOGIC - TẬP HỢP
A

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Mệnh đề

I

1. Mệnh đề và giá trị chân lý
+) Mệnh đề toán học là một khẳng định chỉ có thể đúng hoặc sai, nghĩa là không thể vừa đúng
vừa sai, cũng không thể vừa không đúng vừa không sai.
+) Nếu mệnh đề A là mệnh đề đúng thì mệnh đề A có giá trị chân lý 1, ký hiệu V(A) = 1, còn
...

...
riêng λ = 3 , gọi X =  b  xét phương trình ta có: ( A − 3E ) X = 0 
 c 
0 
149

Thầy Lam Trường - MapUni


−4
b = 3 a
c = 3a + b
 9 3 −3  a  0 
 9a + 3b − 3c = 0


5



   
  −8 −1 4  b  = 0    −8a − b + 4c = 0  −8a − b + 4 ( 3a + b ) = 0   c = a
3
10a + 5b − 2c = 0
10a + 5b − 2 3a + b = 0

10 5 −2  c  0 
(
)


 a tùy ý



3 
b = −4
 
Chọn a = 3  
 X1 =  −4  là một vecto riêng ứng với λ = 3 .
c = 5
5 
 
a
 
+) Với giá trị riêng λ = 6 , gọi X =  b  xét phương trình ta có:
 c 
0 
6
3 −3  a  0 
6a + 3b − 3c = 0
c = 2a + b
 

   
( A − 6E ) X = 0   −8 −4 4  b = 0   −8a − 4b + 4c = 0  a,b tùy ý


0 
10 5 −5  c  0 
10a + 5b − 5c = 0

1 
a = 1
 
 c = 2  X2 =  0  là một vecto riêng ứng với λ = 6 .
- Chọn 
b = 0
 2
 



0
a = 0
 
 c = 1  X2 =  1  là một vecto riêng ứng với λ = 6 .
- Chọn 
b = 1
1 
 

Vậy A là ma trận vuông cấp 3 , có đủ 3 vecto riêng X1 ,X2 ,X3  độc lập tuyến tính

 3 1 0
3 0 0




 P =  −4 0 1 là ma trận làm chéo hoá A , và P −1 AP =  0 6 0 
0 0 6
 5 2 1



Câu 5: Cho không gian Euclide R 3 với tích vô hướng chính tắc cho





W = span (1,1,1) , ( 3, 4, 5 ) , ( 6,7,8 )

a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của W .
b) Tìm hình chiếu trực giao của u = ( 4, 2,6 ) lên W .
Hướng dẫn giải
a) Đặt u1 = ( 1,1,1) ,u2 = ( 3, 4, 5 ) ,u3 = ( 6,7,8 ) thì W = Spanu1 ,u2 ,u3  .
Dễ thấy u3 = 3u1 + u2 nên W = Span u1 ,u2  , mà u1 ,u2  ĐLTT, nên nó là một cơ sở của W .
Thầy Lam Trường – MapUni

150

Đặt v1 =

 1 1 1 
1
1
u1 =
1,1,1) = 
,
,
(

u1
3
 3 3 3

 3
4
5   1 1 1 
+
+
,
,
Đặt v2 = u2 −u2 ,v1 v1 = ( 3,4,5 ) − 

 = ( −1,0,1)
3
3  3 3 3
 3
 v2 =

1

v2 =

v2

 −1
1 
v2 = 
,0,

2
2
 2

1

1  
 1 1 1   −1
 một cơ sở trực chuẩn của W là: 
,
,
,0,
 ,

2  
 3 3 3   2

b) Hình chiếu trực giao của u = ( 4, 2,6 ) lên W là:

4 + 2 + 6  1 1 1  −4 + 0 + 6  −1
1 
,
,
,0,

+


3  3 3 3
2  2
2
= ( 4, 4, 4 ) + ( −1,0,1) = ( 3, 4, 5 )

u = u,v1v1 + u,v2v2 =

(

)

Câu 6: Cho A là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng det A2 + I  0 , ở đó I là ma trận đơn
vị cùng cấp với A
Hướng dẫn giải

(

)

(

)

det A 2 + I = det A 2 + I 2 = det ( A + iI )( A − iI )  = det ( A + iI )  det ( A − iI )
= det ( A + iI )  det ( A + iI ) =|det ( A + iI )|2  0

- HẾT -

151

Thầy Lam Trường - MapUni