Giáo trình Toán kinh tế

Toán kinh tế
Chương 1: Đại số tuyến tính và toán xác suất
A- Đại số tuyến tính
I- Không gian véc tơ và các phép toán

1. Định nghĩa:
Xét tập V khác rỗng mà mỗi phần tử ta quy ước gọi là 1 vét tơ và trường số
thực R. Giả sử trong V ta định nghĩa được 2 phép toán: phép cộng 2 véc tơ và phép
nhân 1 véc tơ với 1 số thực thoả mãn 10 yêu cầu sau với  x, y, z  V và  k, l  R
thì tập V được gọi là 1 không gian véc tơ trên trường R.
Không gian véc tơ trên trường số thực R là 1 tập V khác rỗng (mà mỗi phần tử
được quy ước gọi là 1 véc tơ) với 2 phép toán cộng véc tơ và nhân véc tơ với 1 số
thực R, thoả mãn 10 tính chất sau (gọi là 10 tiêu đề của không gian véc tơ) với  x, y,
z  V và  k, l  R:
(1) Nếu x và y  V thì x + y  V
(2) x + y = y + x với  x, y  V
(3) x + (y + z) = (x + y) + z với  x, y, z  V
(4)  véc tơ   V sao cho:  + x = x +  = x với  x  V
phần tử  được gọi là phần tử trung hoà của phép (cộng) +
(5) Với mỗi x  V tồn tại véc tơ -x  V sao cho:
x + (-x) = (-x) + x = 
phần tử –x được gọi là phần tử đối xứng (hay phần tử đối) của x
(6) Nếu k  R và x  V thì kx  V
(7) k(x + y) = kx + ky
(8) (k + l) x = kx + lx
(9) k(lx) = (kl) x
(10) 1.x
=x
2. Các phép toán véc tơ
- Phép cộng 2 véc tơ là 1 luật hợp thành trong (phép toán) trên V cho phép tạo
ra từ 1 cặp véc tơ x, y  V một véc tơ duy nhất gọi là tổng của chúng, ký hiệu là x +
y.
- Phép nhân 1 véc tơ với 1 số (còn gọi là phép nhân với vô hướng) là 1 luật hợp
thành ngoài trên V cho phép tạo ra từ 1 véc tơ x  V và 1 số thực k  R một véc tơ
duy nhất gọi là tích của chúng, ký hiệu là kx.
Nếu x, y cho dạng thành phần (toạ độ):
Thí dụ: xét Rn là tập mà mỗi phần tử là 1 bộ n số thực có thứ tự (x 1, x2, …, xn),
còn gọi là 1 véc tơ n thành phần. Xét x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn).
- Phép cộng véc tơ và phép nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn+ yn)
kx = (kx1, kx2, …, kxn), k  R
- Ngoài ra x = y khi và chỉ khi xi = yi, i
3. (Họ véc tơ) độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3-1. Khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1 Định nghĩa: V là 1 khôzz5ng gian véc tơ, S = { x1, …, xn}  V.
Xét điều kiện:
c1x1 + … + cn xn = 
(I-1)
- Nếu điều kiện (I-1) chỉ xảy ra khi: c1 = 0, …, cn = 0 thì ta nói họ S độc lập
tuyến tính.
- Nếu  các số thực c1, …, cn không đồng thời bằng 0 để (I-1) thoả mãn thì ta
nói họ S phụ thuộc tuyến tính.
3.2. Thí dụ:
1 Xét xem họ {i, j}, i = (1,0), j = (0,1) trong R2 là độc lập tuyến
...

...
y đều có thể bị loại
khỏi tập ô cơ sở. Nhưng theo thuật toán khi đó ta sẽ chỉ loại 1 trong số những ô ứng
với q theo quy tắc ngẫu nhiên, những ô còn lại ứng với q vẫn nằm trong tập ô cơ sở
với tư cách là các ô bổ sung.
- Nếu phương án cực biên tối ưu x* có v j  u i  c ij với mọi ô phi cơ sở thì x* là
phương án tối ưu duy nhất.
Thí dụ: Bằng phương pháp thế vị, giải bài toán vận tải với các số liệu được cho
dưới đây:
Giải:
Kẻ bảng gồm 4 hàng, 5 cột
Bảng 7
Thu
76
62
88
45
40
Phát
79
10
19
9
6
8
102
13
11
8
7
4
70
12
17
10
5
3
60
12
18
18
7
9
Ghi các số hiệu có thừ bảng 7, dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương
án cực biên xuất phát, đó là phương án cực biên không suy biến, tập ô đựơc phân
phối chính là tập ô cơ sở , ta được bảng 8 tương ứng:
Bảng 8
76
62
88
45
40
Thu
Phát
79
10
19
9
6
8
[64]
[15]
102
13
11
8
7
4
[14]
[88]
70
12
17
10
5
3
[30]
[40]
60
12
18
18
7
9
[12]
[48]
Cho u4 = 0. Lần lượt tính được các thế vị hàng và cột khác theo (5) và (6):
Các thế vị hàng và cột được nghi vào bên trái mỗi hàng và phía trên mỗi cột.
Tính đại lượng  ij  v j  u i  c ij  0 đối với các ô vi phạm và ghi nó vào ô tương
ứng với dấu cộng phía trước, cụ thể là:
13  v 3  u 1  c13  15  2  9   4

 33  v3  u 3  c 33  15  3  10   2
 44  v 4  u 4  c 44  8  0  7   1
Max Δ ij = 13 = +4, ô (1, 3) được lấy làm ô điều chỉnh.
Tìm vòng tạo bởi ô (1, 3) với các ô cơ sở, đồng thời đánh dấu * cho các ô lẻ,
dấu (*) cho các ô chẵn trên vòng. Kết quả trên bảng 9:
Bảng 9

12
76

Thu

18
62

15
88

8
45

6
40

Phát
2

79

10(*)

19

9(*)

6

8

[64]
7

102

13

[15]
11(*)

8(*)
[14]

3

70

12

17

7

4

5

3

[88]
10

[30]
0

60

12(*)

18(*)

18

7

[40]
9

[12]
[48]
+1
Xác định q = Min {88 48 64} = 48 ứng với ô (4, 2).
Thực hiện phép biến đổi số đối với các ô trên vòng, nghĩa là tăng q cho ô lẻ và
giảm q ở ô chẵn.
Bảng 10
12
14
11
8
6
Thu
76
62
88
45
40
Phát
2
79
10(*)
19
9
6(*)
8
[16]
[48]
[15]
3
102
13
11
8
7
4
[62]
[40]
3
70
12
17
10
5
3
[30]
[40]
0
60
12(*)
18
18
7(*)
9
[60]
+1
Sau khi điều chỉnh ta được phương án ghi trong bảng 11.
Bảng 11
14
62

12
76

Thu

11
88

8
45

6
40

Phát
2

79

10

19

9

[31]
3

102

13

70

12

8

7

4

5

3

[48]
11

8
[62]

2

6

17

[40]
10

[30]
0

60

12

18

18

7

[40]
9

[45]
[15]
Ta thấy: v j  u i  cij , (i, j)  S0 nên phương án tương ứng là tối ưu (duy nhất).
Dễ dàng tính được trị tối ưu của hàm mục tiêu:
f(*) = 10.31 + 9.48 + 11.62 + 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12.45 + 7.15 = 2659