ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HCM
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ 3 − NĂM HỌC 2024-2025
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
Môn học: Toán kinh tế 2
Mã môn học: MATH132801
Số trang: 02
Thời gian: 90 phút.
Sinh viên được sử dụng 1 tờ A4 chép tay.
Câu 1: (1,5 điểm) Giả sử sản lượng Q1 , Q2 của 2 loại sản phẩm phụ thuộc vào các yếu tố môi
trường (chẳng hạn nhiệt độ, lượng ánh sáng và lượng mưa) x, y, z được mô hình hóa như sau
(
xQ21 + yQ2 = 5z 2
(1)
Q21 + Q22 = 10z
Đặt
g1 (Q1 , Q2 , x, y, z) ≡ xQ21 + yQ2 − 5z 2 và g2 (Q1 , Q2 , x, y, z) ≡ Q21 + Q22 − 10z.
∂Q2
∂Q1
và
, trong
Anh/Chị hãy tính vi phân toàn phần của g1 , g2 , từ đó tính đạo hàm riêng
∂x
∂z
đó Q1 = Q1 (x, y, z), Q2 = Q2 (x, y, z) xác định bởi hệ hàm ẩn (1).
Câu 2: (1 điểm/10) Đầu ra y = f (x) của một sản phẩm nào đó phụ thuộc vào yếu tố đầu vào x
theo mô hình sau
f (x) = −x2 + 4ax + 10a4 ,
trong đó a 0 là một tham số. Anh/Chị hãy xác định yếu tố đầu vào x∗ = x∗ (a) để sản lượng
đầu ra đạt được lớn nhất. Đặt f ∗ (a) = f (x∗ ) là sản lượng đầu ra lớn nhất. Ứng dụng Định lý
df ∗
Bao, tính
, từ đó xác định sự ảnh hưởng của a lên sản lượng cực đại f ∗ (a).
da
Câu 3: (2,0 điểm) Xét bài toán cực tiểu hóa hàm chi phí
C(L, K) = W L + RK,
với ràng buộc về sản lượng F (L, K) ≡ L1/4 K 1/3 = Q trong đó Q 0 là hằng số cho trước, L
là số lao động, K là số vốn mà doanh nghiệp sử dụng, W là tiền công cho mỗi đơn vị lao động,
R là giá vốn.
a. Anh/Chị hãy xác định số lao động và số vốn L∗ = L∗ (W, R, Q), K ∗ = K ∗ (W, R, Q) sao cho
chi phí doanh nghiệp bé nhất đồng thời đảm bảo ràng buộc Q = F (L, K), (biết rằng nghiệm
tối ưu của bài toán tồn tại duy nhất). Tính giá trị hàm chi phí bé nhất C ∗ (W, R, Q).
b. Áp dụng Định lý Bao, tính
tối ưu C ∗ (W, R, Q).
∂C ∗ (W, R, Q)
, từ đó xác định ảnh hưởng của W lên hàm chi phí
∂W
Câu 4: (2,5 điểm)
a. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ
(
kxe−2x nếu x ≥ 0
p(x) =
0
nếu x 0.
Xác định hằng số k.
Số hiệu: BM1/QT-PĐT-RĐTV
Page 1/2
b. Một công ty quảng cáo được thuê để quảng bá một chương trình truyền hình mới trong vòng
6 tuần. Sau t tuần (kể từ khi chương trình quảng bá bắt đầu), người ta thấy rằng số phần
trăm công chúng xem truyền hình biết đến chương trình là
P (t) =
50t
+ 5.
0, 6t2 + 15
Tỷ lệ phần trăm trung bình người xem truyền hình biết đến chương trình trong 6 tuần của
chiến dịch quảng cáo là bao nhiêu?
Câu 5: (2,0 điểm) Xét mô hình quản trị hàng tồn kho sau đây
I ′′ (t) + aI ′ (t) + bI(t) = D(t)
trong đó I(t) là lượng hàng tồn kho tại thời điểm t, D(t) là cầu tại thời điểm t.
Giả sử rằng D(t) = 2te−t , a = 5, b = 6.
(a) Anh/Chị hãy giải phương trình trên để tìm I(t) biết rằng I(0) = 50, I ′ (0) = −2.
(b) Xác định lượng hàng tồn khi thời gian đủ lớn bằng cách tính lim I(t).
t→∞
Câu 6: (1,0 điểm) Xét mô hình cân bằng thị trường dạng Cob-Web sau:
Qdt = 12 − 5Pt
Qst = 8 + 3Pt−1
trong đó Qdt , Qst lần lượt là lượng cầu và lượng cung tại thời điểm t, Pt là giá sản phẩm tại thời
điểm t.
a. Anh/Chị hãy thiết lập phương trình sai phân cấp 1 theo Pt khi thị trường cân bằng, từ đó
xác giá trị cân bằng P ∗ của phương trình sai phân cấp 1 và giá của sản phẩm Pt tại thời
điểm t, biết rằng P (0) = 2.
b. Phương trình sai phân cấp 1 (ở câu a.) có ổn định không? Vì sao?
———————————————————————————————————————–
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra học phần (về kiến thức)
Nội dung kiểm tra
[G 2.1]: Tính được vi phân toàn phần, đạo hàm riêng của hàm ẩn và hệ hàm ẩn.
[G 2.2]: Mô hình hóa và giải được các bài toán tìm cực trị trong kinh tế. Kiểm tra các định
lý bao.
[G 2.3]:Tính được tích phân và ứng dụng trong kinh tế, tính được kỳ vọng và phương sai
của biến ngẫu nhiên
[G 2.4]: Giải phương trình sai phân cấp 1, 2 và phương trình vi phân cấp 1, 2 ứng dụng nó
trong phân tích kinh tế.
Câu 1
Câu 2, 3
Câu 4
Câu 5, 6.
12/7/2025
Thông qua bộ môn
Số hiệu: BM1/QT-PĐT-RĐTV
Page 2/2
