Đại học Quốc gia TP.HCM
Trường Đại học Bách Khoa
Bộ môn Toán Ứng dụng

.

Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính
TS. Đặng Văn Vinh
E-mail: [email protected]
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh

Ngày 14 tháng 8 năm 2013

Mục tiêu môn học
Môn học cung cấp kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên cần nắm vững kiến thức nền tảng và
biết giải các bài toán cơ bản: số phức, tính định thức, làm việc với ma trận, giải hệ phương trình tuyến
tính, không gian véc tơ, không gian euclide, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng - véc tơ riêng, đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc.

Tài liệu tham khảo
1) Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia.
2) Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia.
3) Trần Lưu Cường. Đại số tuyến tính.NXB Đại học quốc gia.

Ghi chú:
Tài liệu này chỉ tóm tắc lại bài giảng của Thầy Đặng Văn Vinh. Để hiểu bài tốt, các em cần đi học trên lớp
lý thuyết và bài tập.
Sinh viên tạo tài khoảng trên website www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh , làm thêm bài tập trắc nghiệm
trên đó.
Vì nội dung mới được soạn lại nên không thể tránh sai sót. Mọi góp ý, sinh viên có thể liên hệ trên diễn
đàn website hoặc qua mail: [email protected].

1

Mục lục
0.1
0.2

Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
6

1 Ma trận
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các phép biến đổi sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
13
14
15
16

2 Định thức
2.1 Định nghĩa định thức và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính chất định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
18
19
21

3 Hệ phương trình
23
3.1 Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 H
...

...
2x2 + 3x3 − 5x4 = 0
V :
2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
(a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V.
(b) Tìm cơ sở và số chiều của U + V .
Câu 4) Trong R2 : x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ). Xét tích vô hướng (x, y) = 2x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3x2 y2 .
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với u = (2, −1), v = (1, 3).
Câu 5) Cho 
ánh xạ f : R3→ R3 , biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là
1 −2 1

3
2 0  . Tìm f (4, 3, 6)
A=
−1 3 4
Câu 6) Cho ma trận cấp 3



0
2
2
A =  −1 −3 −2 
1
5
4
Tìm một ma trận B ∈ M3 (R) sao cho B 3 = A.

Đề ôn số 2



1 −1 0
−2 3 −6
Câu 1) Cho A = −1 2 1 , B =  1 −2 5 . Tìm ma trận X thỏa 3I + AX = B T .
3 −3 1
3
0
7


Câu 2) Tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình


2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −1
x1 + 2x2 + x4 = 0


x1 + x2 + x3 + x4 = 3
vuông góc với véc tơ u = (1 1 1 0).
Câu 3) Trong R4 , cho 2 không gian con F = (1 2 1 1) (2 3 −1 2) , G = (−3 1 2 1), (−5 10 7 7) .
Tìm cơ sở và số chiều của F ∩ G.
Câu 4) Trong R3 , cho tích vô hướng
(x, y) = 3x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5x2 y2 + x3 y3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 )
và không gian con F = (1 −1 2) . Tìm hình chiếu của véc tơ x = (2 0 1) xuống F .
T.S.Đặng Văn Vinh

Trang 77

8.3. PHÂN LOẠI DẠNG TOÀN PHƯƠNG

ĐHBK TPHCM

Câu 5) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa
f (1 2 1) = (2 −1 3), f (2 3 0) = (−3 2 5), f (1 3 2) = (5 −3 −2).
(a) Tìm cơ sở và số chiều của ker f và =f .
(b) Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {(1 2 1), (2 3 0), (1 3 2)}.


 
3 −2 3
1
Câu 6) Cho ma trận A = −1 a −3 và x = −1. Tìm a, b để x là véc riêng của A. Chéo hóa A
2 −4 b
−1
với a, b vừa tìm được.

Đáp số
Đề 1



20 −9 −10
5 
1. X = −6 2
−5 4
2
2. (a) Cơ sở của U ⊥ là {(−1 −1 1 0), (−2 −4 0 3)}.
7
(b) P rU ⊥ (z) = (0 2 2 −3).
17
3. (a) Cơ sở U + V là {(1 1 −2 1), (0 1 3 −1), (0 0 −9 5)}
T
(b) Cơ sở U V là {(2 3 −1 1)}.
√
4. d(u, v) = 34.
5. f (4 3 6) = (22 26 21)
 
−1

 
−1 0 0
0
1
1
0
1
1
6. B = −1 −1 −1 .  0 0 √0  . −1 −1 −1 .
1
1
2
1
1
2
0 0 32
Đề 2:


−16 −5 11
1. X = −11 −6 8 .
9
2 −5
2. x = (−1 0 1 2)α, ∀α ∈ R.
3. Cơ sở F ∩ G là {(4 7 1 4)}.
4. Hình chiếu là

4
(1 −1 2).
8

5. (a) Cơ sở của =f là {(2 −1 3), (0, 1, 19)}. Cơ sở của ker f là {(48 76 9)}.


25 −11 36
0
−6 .
(b) Ma trận của f trong cơ sở E là  −6
−11
8
−19




−2 0 0
2 3 −1
1 .
6. a = 0, b = 4. D =  0 −2 0 , P = 1 0
0
0 7
0 −1 −2

T.S.Đặng Văn Vinh

Trang 78