62
NHIỀU TÁC GIẢ
TÀI LIỆU MÔN HỌC
TOÁN 3
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2024
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TÀI LIỆU MÔN HỌC
TOÁN 3
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2024
Điều 25e của Luật Sở hữu trí tuệ số 07/2022/QH15 về các trường hợp ngoại lệ không xâm phạm quyền tác
giả sử dụng tác phẩm trong hoạt động thư viện không nhằm mục đích thương mại.
Mục tiêu hoạt động của thư viện là phi lợi nhuận, do đó mọi hình thức sao chép sử dụng “Tài liệu môn học
Toán 3” với mục đích khác đều không được phép thực hiện. Nếu chưa được sự đồng ý của Thư viện Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh.
Chương 10
Mục VECTƠ
lục
HÀM
10 Hàm véctơ
10.1 Giới thiệu về hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Hàm giá trị véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Đạo hàm và t´ich phân của hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Đạo hàm và các t´inh chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Véctơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 T´ich phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Mô h`inh chuyển động của một vật trong R3 . . . . . . . . . .
10.2.5 Mô h`inh ném xiên (chuyển động của viên đạn) . . . . . . . .
10.3 Độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Tiếp tuyến đơn vị và vectơ pháp tuyến đơn vị ch´inh . . . . .
10.3.2 Độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc . . . . . . . . . . .
10.4.1 Các thành phần của gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
2
5
5
7
7
8
10
11
12
16
16
19
23
30
30
34
Chương 10
Hàm véctơ
10.1
Giới thiệu về hàm véctơ
TRONG PHẦN NÀY: Hàm giá trị véctơ, các phép toán với hàm véctơ, giới hạn và
sự liên tục của hàm véctơ
10.1.1
Hàm giá trị véctơ
Định nghĩa 10.1.1 (Hàm giá trị véctơ). Một hàm có giá trị véctơ (hoặc, ngắn
gọn là hàm véctơ) F của một biến thực có miền xác định D là một qui tắc cho
tương ứng với mỗi số t trong D một véctơ duy nhất F(t). Tập hợp tất cả các véctơ
v có dạng v = F(
...
...
i nhìn từ
gốc tọa độ.
I
(ydx + zdy + xdz), trong đó C là giao tuyến của mặt phẳng x + y = 2 và mặt
e.
C
cong x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y) và hướng trên C ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn
từ gốc tọa độ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 15
Trang 16
Tài liệu môn học Toán 3
Câu 42. Tính Lưu số quanh biên C của trường véc tơ V , trong đó hướng trên C
là hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống và V là vận tốc của dòng
chất lỏng, trong các trường hợp sau.
a. V = xi + (z − x)j + yk và C là giao tuyến của hình trụ x2 + y 2 = y và nửa mặt
p
cầu z = 1 − x2 − y 2 .
b. V = yi+(x2 +y 2 )j+(x+y)k và C là tam giác với các đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0).
2
c. V = (ex + z)i + (x + sin y 3 )j + [y + ln(tan−1 )] k và C là giao tuyến của mặt cầu
p
x2 + y 2 + z 2 = 1 và mặt nón z = x2 + y 2 .
13.7
Định lý phân kỳ
Câu 43. Hàm véc tơ F cùng với miền D nào sau đây thỏa mãn Định lý phân kỳ?
a. F = xzi + y 2 j + 2zk D là hình cầu x2 + y 2 + z 2 ≤ 4.
b. F = xi − 2yj D là miền trong của Paraboloid z = x2 + y 2 0 ≤ z ≤ 9.
c. F = xi + yj + zk D là miền trong của elipsoid
y2
z2
x2
+
+
≤ 1, a, b, c là các
a2
b2
c2
hằng số.
d. F = 3xi + 5yj + 6zk D là tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt
phẳng 2x + y + z = 4.
ZZ
F · N dS cho mỗi hàm F
Câu 44. Sử dụng Định lý phân kỳ tính tích phân mặt
S
và mặt kín S sau đây, trong đó N là trường véc tơ chuẩn tắc đơn vị hướng ra ngoài.
a. F = xi + yj + zk S là hình trụ x2 + y 2 = 1, với 0 ≤ z ≤ 1 bao gồm cả hai đáy.
b. F = x3 i + y 3 j + z 3 k S là hình cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính R.
p
c. F = (cos yz)i + ezx j + 3z 2 k S là nửa mặt cầu z = 4 − x2 − y 2 cùng với đĩa
tròn x2 + y 2 ≤ 4 trong mặt phẳng Oxy.
d. F = curl [exz i − 4j + (sin xyz)k] S là elipsoid 2x2 + 3y 2 + 7z 2 = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 16
Nhiều tác giả
Điều 25e của Luật Sở hữu trí tuệ số 07/2022/QH15 về các trường hợp ngoại lệ không xâm phạm quyền
tác giả sử dụng tác phẩm trong hoạt động thư viện không nhằm mục đích thương mại.
Mục tiêu hoạt động của thư viện là phi lợi nhuận, do đó mọi hình thức sao chép sử dụng “Tài liệu môn
học Toán 3” với mục đích khác đều không được phép thực hiện. Nếu chưa được sự đồng ý của Thư viện
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh.
